الگویابی درریاضیات ابتدایی

 1- الگویابی (پیدا کردن الگو)

    الگوها خود را در موقعیت‌ها و موضوعات طبیعی و روزمره‌ نشان می‌دهند. الگوها در ریاضیات برجسته و شاخص‌اند؛ به طوری که الگوهای عملی و قابل استفاده، در حل مسئله ریاضی قابلیت اجرایی گسترده‌ای دارد. این الگوها برای کودکان کودکستان و مدارس ابتدایی در زنجیرة مهره‌های رنگی، بلوک‌های (معکب‌های) اسباب‌بازی و ضرباتی که به ترتیب به یک طبل می‌زنند، قابل شناسایی است. کودکان مدارس ابتدایی باید الگوهای عددی را در یک ردیف مانند:

.... و 30و 25و 20و 15و .... و 6و 4و 2و 0 پیدا و مطالعه کنند. آنان می‌توانند الگوها را با عددهای دیگر کامل کنند. در فعالیت زیر، کودکان، الگوها را در طرح‌ها و رنگ‌های «پیراهن» بررسی می‌کنند.

 مسئله 1          الگوهای «بلوز»

   کودکی که «بلوز» ساده و بدون یقه‌ای برتن کرده است، انتخاب کنید، (بلوزی با خط‌های آبی و سفید). از کودک بخواهید الگوی بلوز را شرح دهد.

   کودکان دیگری را که الگوهای مشابه «بلوز» دارند، انتخاب کنید. از آنان بخواهید الگوی «بلوز» خود را توضیح دهند.

از هر کودک بخواهید، تصویر یک «بلوز» را بکشد و رنگ‌آمیزی کند.

    توضیح دهید که چگونه می‌توانند به کمک حروف، الگوهای «بلوز» را شرح دهند. الگوی یک در میان «آبی- سفید» با الگوی ….b- a- b-a-b-a  و الگوی یک در میان «آبی- سفید- قرمز» با الگوی c-b-a-c-b-a قابل بررسی است. (ردیف‌های باریک هر رنگ، که ردیف‌های کلفت را جدا می‌کنند، قسمتی از الگو به حساب نمی‌آیند. بنابراین الگوی بلوز فقط با ردیف‌های پهن قابل تعریف است)

•   الگوهای حرفی مانند: a-b-c-d-a-b-c-d- ... a-b-c را روی کارت‌های «5×3» بنویسید. به هر کودک یک کارت بدهید. هر کودک باید با مدادرنگی، الگوی روی کارت را رنگ‌آمیزی کند.

کودکان پایه‌های تحصیلی باید با الگوهای پیچیده و انتزاعی کار کنند: فعالیت‌های زیر، بررسی‌های چهار الگوی متفاوت را نشان می‌دهد:

مسئله 2                    الگوهای حسابی

    دنباله‌های متوالی حسای یکی از الگوهای است که بین هر عدد منظم و پایداری مشاهده می‌شود. اعداد زوج ... و 4و 2و 0 از توالی حسابی شکل گرفته است. چون هر عدد که با دو جمع شود، عدد زوج بعدی به دست می‌آید. (کودکان باید این مسائل را با استفاده از ماشین حساب حل کنند)

•    ردیف متوالی .... و 4و 3و 2و 1 را روی تخته بنویسید. از کودک بپرسید، عدد صدم در این ردیف، چه  عددی است؟ (100)

•   اولین اعداد فرد ... و 7و 5و 3و 1 را روی تخته سیاه بنویسید کودک باید توالی اعداد را تشخیص دهد و نام چند عدد بعدی را بگوید.

•        از کودکان بخواهید، نام صدمین عدد در توالی با بگویند (199)

•   چند عدد متوالی را به ترتیب روی تخته بنویسید ...و 13و 10و 7و 4 کودک باید نظم و ترتیب را در توالی تشخیص بدهد و نام چند عدد بعدی را بگوید.

•        هر ردیف از اعداد متوالی زیر را روی تخته سیاه بنویسید و فعالیت را ادامه دهید:

.... و 12و 9و 6و 3

... و 21و 15و 9و 3

•        از کودکان نام صدمین عدد را در هر ردیف بپرسید.

•        به کودکان کمک کنید تا قاعدة تعیین هر عدد را در توالی حسابی، استنباط کنند.

    الگوهای عددی مشابه مسئله 2 در برنامة کامپیوتر قانون پادشاه قابل مشاهده است. دانش‌آموزان  الگوهای عددی شکل را بررسی می‌کنند و با عبور از «قصر پادشاه» با آن‌ها آشنا می‌شوند. این بازی به آنان امکان می‌دهد با پیروی از قانون، به ایجاد عدد و بررسی الگوهای خود بپردازد. بازیکنی که به «قصر پادشاه» برسد، مهارت و ورزیدگی خود را در الگوی نمونه معما نشان می‌دهد.

      الگوهای دو مسئله بعدی با بررسی «ابزارهای دست ساخت» معین می‌گردد. در اولین الگو، صفحاتی مانند کارت‌های رنگی قابل استفاده است. در دومین الگو از معمایی به نام «برج‌های هانوی» استفاده می‌شود. کودکان پایه‌های سوم تا ششم می‌توانند الگوهایی در این دو مسئله پیدا کنند. کودکان ورزیده پایه‌های پنجم و اوایل دورة راهنمایی قادرند قانون دست‌یابی به اعداد گمشده را در هر توالی استنباط کنند.

مسأله 3          اعداد مثلثی

اعداد مثلثی اولین مطالعة یونانیان علاقه‌مند به روابط بین اعداد و هندسه بود. مثلث‌های نقطه‌ای زیر، چهار عدد مثلثی را نشان می‌دهد.

•        چهار عدد مثلثی اول را بنویسید.

•        تصویر عدد مثلثی بعدی را بکشید. این عدد را به فهرست اعداد مثلثی خود اضافه کنید.

•   فهرست اعداد مثلثی خود را بررسی کنید و ببینید آیا می‌توانید الگویی برای آن طرح کنید؟ هر الگویی را که به دست آوردید، بنویسید.

•        سه عدد مثلثی بعدی را به فهرست خود اضافه کنید.

•        در صورت امکان، قانونی کلی (جامع) برای پیدا کردن عدد کل نقطه‌های به کار رفته در مثلث با تعداد نقطه‌های به کار رفته در هر ضلع بیان کنید. قانون خودرا به صورت فرمول بنویسید. از قانون خود برای پیدا کردن تعداد نقطه‌های به کار رفته در مثلثی با 15 نقطه در هر ضلع استفاده کنید.

مسئله‌4                     برج‌های هانوی

   برج‌های هانوی معمایی قدیمی است که حلقه‌ها از یک قسمت به قسمت دیگر منتقل می‌شود در تصویر، پنج حلقه در شکلی از سه ردیف قرار گرفته است. مسئله این است که با کمترین حرکت انجام شده پنج حلقه را به هر یک از قسمت‌‌های دیگر منتقل کنید. شیوه حرکت حلقه‌ها به قوانینی مربوط می‌گردد. حلقه بزرگتر هرگز نباید روی حلقه کوچکتر قرار بگیرد و سپس حلقه‌ها باید مانند اول قرار بگیرند. (سومین میله آخرین قسمت انتقال داده شده‌ی حلقه‌هاست) مسئله: کمترین حرکت انجام شده برای انتقال 5 حلقه کدام است؟

•        برای حرکت یک حلقه چند حرکت لازم است؟ برای دو حلقه چه طور؟ سه حلقه چه طور؟ چهار حلقه چه طور؟

•        آیا می‌توانید از الگویی استفاده کنید که تعداد حرکات 5 حلقه را تعیین کند؟

•        فکر می‌کنید برای حرکت شش حلقه به چند حرکت احتیاج دارید؟ برای هفت حلقه چه طور؟

•   در صورت امکان، قانون کلی (جامع) برای پیدا کردن کمترین حرکت انجام شده در انتقال n حلقه بیان کنید. از قانون خود برای پیدا کردن تعداد حرکت انجام شده با دوازده حلقه استفاده کنید.

•        قانون و پاسخ‌های خود را با همکلاسی‌ها مقایسه کنید.

مسئله زیر سرگرم کننده است. توالی ریاضی رعایت نشده است و هیچ قانون کلی برای تعیین عدد گمشده دیده نمی‌شود.

•        مسئله 5                    راز یک توالی ریاضی

    پنج عدد بعدی را در توالی زیر تعیین کنید.

...و 30و 24و 20و 18و 14و 12و 8و 6و 4و 3

    یکی از فواید این مهارت در حل مسأله است.کشف الگو و رابطه‌‌های بین داده های مسأله به حل آن کمک می‌کند. الگویابی برای مسائلی مفید است که با استفاده از رابطه‌ها و قواعد تکرار‌پذیری طرح می‌شوند. گاهی کشف الگو همان حل مسأله است و در مواقعی پیدا کردن الگو راه را برای حل مسأله باز می‌کند.

   با استفاده از شکل‌ها و عملیات مربوط به هر شکل، مجموع اعداد فرد 1 تا 25 چقدر می‌شود (به عبارت دیگر، حاصل عبارت = 25+ 23+ ...+ 7+ 5+ 3+ 1 را پیدا کنید).

    همانطور که در الگوی بالا دیده می‌شود، مجموع عددهای فردی برابر است با n² که در  این عبارت n عدد وسطی در آن دنباله است. در دنباله 5+3+1 عدد وسط 3 است پس: 9= 3²= 5+3+1 و در دنباله 7+ 5+ 3+ 1 عدد وسط 4 است، پس: 16=  4² = 7+5+3+1 ،  اکنون باید عدد وسط 25+ 23+ ... + 7+ 5+ 3+ 1 را پیدا کنیم: 13= 2÷ 26، 26= 25+1 پس حاصل عبارت بالا برابر 13² یا 169 است.

    اگر الگویابی را با مسائل زیبا و جالب به دانش‌آموزان آموزش دهیم زودتر و بهتر مفهوم آن را یاد می‌گیرندیکی از فواید الگویابی و تقویت آن، کشف فرمولها و روابط ریاضی می باشد.

    یکی از مسائل زیبا که می تواند برای آموزش الگو یابی مفید باشد ، ضرب عدد 37 در مضربهای 3 می باشد . در این ضربها، الگوهای زیادی می توان پیدا کرد که دانش آموزان را تشویق می کندتا در منزل دنبال الگوهای دیگری از این عدد یا عددهای دیگر باشند.

4440=  120× 37        3330= 90 × 37          2220= 60 × 37          1110= 30 × 37           111= 3 × 37

4551=  123× 37        3441= 93 × 37          2331= 63 × 37          1221=33× 37               222= 6 × 37

4662=  126× 37        3552= 96 × 37          2442= 66 × 37          1332 = 36 × 37           333= 9 × 37

4773= 129 × 37        3663= 99 × 37          2553= 69 × 37          1443 =  39× 37         444= 12 × 37

4884=  132× 37        3774= 102 × 37        2664= 72 × 37          1554= 42 × 37          555= 15 × 37

4995= 135 × 37        3885= 105 × 37        2775= 75 × 37          1665= 45× 37           666= 18 × 37

5106= 138 × 37        3996=  108× 37        2886= 78 × 37          1776= 48 × 37          777= 21 ×37

5217=  141× 37        4107=  111× 37        2997= 81 × 37          1887= 51 × 37          888= 24 × 37

5328= 144 × 37        4218= 114 × 37        3108=  84× 37          1998= 54× 37           999= 27 × 37

5439=  147× 37        4329=  117× 37        3219= 87× 37           2109= 57× 37

     اگر به این ضربهای زیبا توجه کنید ، می توانید الگوهای زیادی پیدا کنید.

 در زیر به چند الگو اشاره می شود که شما با استفاده از این الگوها می توانید حاصل ضرب را تا هر جایی که مایل باشید ادامه دهید بدون اینکه از ماشین حساب استفاده کنید.

    1.  در ردیف اول الگوها به این صورت است که اگر مضرب بر 3 تقسیم کنیم می توانیم نتیجه را تشخیص دهیم . به عنوان مثال اگر 37 را در 24 ضرب کنیم ، چون 8  = 3: 24 پس نتیجه 888 می شود.

    2.  در ردیف دوم ، هم الگو به صورت ستونی و هم رابطه ای با ردیف اول دارد.به عنوان مثال در ردیف دوم و سو م و چهارم و پنجم ، رقم های یکان به صورت عمودی از صفر شروع و به 9 ختم می شود و  همین الاگو نیز در رقم دهگان و صدگان مشاهده می شود.

   3.  و چندین الگوی زیبای دیگر که اگر به دقت به عددها توجه کنید، این رابطه ها و الگوها را مشاهده می کنید.

   4.     اگر این ضربها را به همین ترتیب ادامه دهید خواهید دید که باز هم این الگوهارا مشاهده خواهید کرد.

   5.  در ستونها ی دوم و سوم و ...  ، مجموع رقم یکان و یکان هزاربا رقم تکراری وسط برابر است. به عنوان مثال  1998 = 54 × 37 که 1+8 با رقم تکراری وسط یعنی 9 برابر است.

   6.  هرگاه رقم وسط بعد از 9 به 10 می رسد رقم یکان هزار نیز یک واحد اضافه می شود و این الگو تا پایان مشاهده می شود.

2-5- مدل‌سازی

    مدل‌سازی شبیه کشیدن نقاشی  است. با این ویژگی که اشیا بهتر از تصاویر مورد استفاده قرار می‌گیرد. در پایه‌های ابتدایی، بازی با پول‌ برای تمرین داد و ستد و استفاده از مدل‌های ساعت برای فعالیت‌ «خواندن ساعت» به طور مستمر مورد استفاده قرار می‌گیرد. از مدل‌های سه بعدی مکعب‌ها و هرم‌ها و اجسام سه بعدی هندسی دیگر در جریان یادگیری این اشکال استفاده می‌شود. مزیت مدل‌ها نسبت به نمودارها این است که کودکان می‌توانند در جریان آموزش یک مسأله آن را بررسی و دست به دست کنند. ربات‌های پلاستیکی استفاده شده در خط کش سانتی‌متری مسأله در زیر و استفاده از صفحات گرد و کاغذهای 10×10 مدل‌های خوبی برای مسائل 2 و 3 در زیر است:

مسأله(1): خط ربات‌ها

    پنج ربات در طول خیابان ایستاده‌اند. «بوکو» 25 متر جلوتر از «روکو» است. «لوکو» 10 متر پشت «بوکو» است. «موکو» 5 متر پشت «لوکو» است «موکو» 15 متر پشت «سوکو» است. ربات‌ها را از چپ به راست ردیف کنید.

مسأله (2): دوچرخه سوارها

    صبح یکشنبه 7 دوچرخه‌سوار و 19 چرخ از کنار خانه‌ی ما عبور کرد. چند دوچرخه و چند سه چرخه از کنار خانه ما عبور کرده است.

مسأله (3): جمع‌کننده‌های تمبر

    «مارسیا» سه برابر برادرش تمبر دارد. اگر برادرش 8 تمبر دیگر داشته باشد، تعداد تمبرهای آن‌ها برابر خواهد شد. مارسیا چند تمبر دارد؟

---

منابع:

[1] - امینی، پرویز [ترجمه]، 1377، راهنمایی  کودکان برای یادگیری ریاضیات، رشد آموزش ابتدایی، شماره5، ص 14 و 15

[2] - اشرف فتحی زاده،علی،30/5/1388 ،10/10/1389 ، http://rahriazi.blogfa.com

[3] - امینی‌، پرویز[ترجمه]، 1377، راهنمایی کودکان برای یادگیری ریاضی، رشد آموزش ابتدایی، (تدریس خصوصی گوهردراصفهان.تخصصی ترین تدریس خصوصی ریاضیات مقطع ابتدایی دراصفهان .آدرس موسسه خ حافظ۳۲۲۲۶۰۶۵-۰۹۱۶۲۸۵۶۳۶۵)