آموزش مجموعه ها درریاضیات

قبل از شروع، هرچیزی در مورد اعداد می دانید فراموش کنید…

حتی فرض کنید که اصلا نمی دانید عدد چیست.

اینجا جاییست که ریاضیات شروع می شود.

به جای ریاضیات با اعداد، اکنون به ریاضیات با “اجسام” می پردازیم.

تعریف

یک مجموعه چیست؟ خب، ساده است! یک دسته…

ابتدا ما یک ویژگی معمول برای “اجسام” (این کلمه بعداً تعریف خواهد شد) مشخص می کنیم و سپس تمامی “اشیا” ئی که این ویژگی معمول را دارند جمع آوری می کنیم.

بعنوان مثال، چیزهایی که شما می پوشید: کفش، جوراب، کلاه، پیراهن، شلوار، و …

مطمئنا می توانید به حداقل صد نوع از این اشیا اشاره کنید.

این دسته بعنوان مجموعه شناخته می شود.

یا یک مثال دیگر انگشت های دست هست.

این مجموعه شامل انگشت های اشاره، انگشت وسط، انگشت حلقه، و انگشت کوچک.

پس یک مجموعه شامل اشیاء به صورت یک دسته است که همه ی عضوها ویژگی مشترکی دارند.

نماد

یک نماد ساده برای مجموعه ها وجود دارد. به سادگی، تمامی عضوها را لیست می کنیم، آنها را با علامت کاما ” , ” جداسازی می کنیم، و در دو طرف این مجموعه {  آکولاد  } می گذاریم.

 

نماد آکولاد ” {   } ” گاها با نام “دو ابرو” مشخص می گردد.

پس دو مجموعه ذکر شده در دو مثال قبل به شکل زیر نوشته می شوند:

{ جوراب ها، کفش ها، ساعت های مچی، پیراهن ها،… }

{ انگشت اشاره، انگشت وسط، انگشت حلقه، انگشت کوچک }

دقت کنید که مثال اول دارای ” … ” است (سه نقطه)

سه نقطه … (ellipsis) به معنی “ادامه دار” بودن مجموعه است و “و غیره” یا “و ادامه دارد” خوانده می شود.

پس می فهمیم که مجموعه اول ادامه دارد، شاید تا بی نهایت!

(قبول…! در واقع پوشاک به اندازه بی نهایت در اطرافتان ندارید، ولی خب هنوز هم مطمئن نیستم! پس از یک ساعت تفکر در این مورد، هنوز اطمینان ندارم. پس بیایید همان بی نهایت را برای این مثال استفاده کنیم…!)

پس:

• مجموعه اول (جوراب ها و کفش ها و …) را یک مجموعه نامتناهی می نامیم.
• مجموعه دوم (انگشت اشاره، وسط و …) را یک مجموعه متناهی می نامیم.

اما می توان از ” … ” در وسط مجموعه استفاده نمود و از این طریق از نوشتن چیزهای اضافی و خلق یک لیست بلند پرهیز کرد:

مثال: مجموعه حروف:

{الف، ب، پ، …، و، ه، ی}

این مجموعه یک مجموعه متناهی است (فقط ۳۲ حرف داریم، نه؟)

مجموعه های عددی

خب این مجموعه ها در ریاضیات به چه دردی می خورند؟ هنگامی که یک مجموعه را تعریف می کنیم، تنها چیزی که باید مشخص شود، خصوصیات مشترک آنهاست. که می گوید این در اعداد ممکن نیست؟

• مجموعه اعداد زوج: { … , ۴ , ۲ ,۰ ,۲– ,۴– , …}
• مجموعه اعداد فرد: {… , ۳ ,۱ ,۱– ,۳– , …}
• مجموعه اعداد اول: {… ,۱۷ ,۱۳ ,۱۱ ,۷ ,۵ ,۳ ,۲}
• مجموعه مضرب های مثبت عدد ۳ کمتر از ۱۰: {۹ ,۶ ,۳}

و این لیست مجموعه ها به اینجا ختم نمی شود. می توانیم چندین مجموعه دیگر نیز داشته باشیم.

همچنین می شود مجموعه اعدادی تعریف کرد که هیچ ویژگی مشترکی با هم نداشته باشند، و فقط در آن مجموعهمعرفی شده باشد. برای مثال:

{۲, ۳, ۶, ۸۲۸, ۳۸۳۹, ۸۸۲۷}

{۴, ۵, ۶, ۱۰, ۲۱}

{۲, ۹۴۹, ۴۸۲۸۲, ۴۲۸۸۲۹۵۹, ۱۱۹۴۸۴۲۰۳}

تمامی این ها مجموعه هایی هستند که شانسی با فشردن اعداد صفحه کلید به دست آمده است!

چرا مجموعه ها مهم هستند؟

مجموعه ها ویژگی ابتدایی ریاضیات است. اگرچه اکنون خود مجموعه ها به نظر بی اهمیت است، اما این شرایط و مکان مناسب استفاده از مجموعه ها است که آنها را آجر سازنده ساختمان ریاضیات کرده است.

ریاضیات به سرعت می تواند شدیدا پیچیده شود. نمودار، تئوری، جبر صریح، تجزیه و تحلیل واقعی، تجزیه و تحلیل پیچیده، جبر خطی، تئوری اعداد، و این لیست ادامه پیدا می کند. اما یک چیز وجود دارد که همه این ها با هم در آن مشترک هستند: مجموعه ها

مجموعه جهانی

در ابتدا، از کلمه “اجسام” استفاده کردیم. این مجموعه ها رامجموعه جهانی می نامیم. مجموعه ایست که شامل هر چیزی می شود. خب، همه چیز که نه، هر چیزی که به سوال ما مربوط باشد.

سپس مجموعه ها شامل اعداد صحیح (Integers) شدند. مجموعه جهانی برای آن می تواند تمامی اعداد صحیح باشد. در واقع، هنگام کار با نظریه اعداد، مجموعه ها تقریبا همان مجموعه های جهانی هستند، همانگونه که مجموعه اعداد همان مطالعه اعداد صحیح است.

اما در حساب دیفرانسیل و انتگرال (یا تجزیه و تحلیل / آنالیز واقعی)، مجموعه جهانی تقریبا برابر اعداد حقیقیاست. و در تجزیه و تحلیل / آنالیز پیشرفته، درست حدس زدید، مجموعه جهانی اعداد پیچیده است.

نماد های بیشتر

هنگامی که از مجموعه ها سخن می گوییم، استفاده از حروف بزرگ انگلیسی برای نامگذاری آنها کاری کاملا مجاز است، و استفاده از حروف کوچک نیز برای معرفی عضوهای آن مجموعه مناسب خواهد بود.

پس برای مثال، A یک مجموعه است، و a عضوی از A است. همین قضیه در مجموعه B با عضو b و مجموعه C با عضو c وجود دارد.

اکنون نیازی به تبعیت از استاندارد ها نیست، می توانید از حرفی مانند m استفاده کنید بی آنکه قانون از ریاضیات را نقض کنید (اما مراقب باشید که تقسیم اعداد به ۰ شما را متهم به زندان خواهد کرد (!))، ولی استفاده از این نماد ها برای استفاده بسیار عالی و آسان است…

همچنین، هنگامیکه می گوییم یک عضو a در یک مجموعهA، از علامت ∋ برای نمایش آن استفاده می کنیم. و اگر عضوی در مجموعه نباشد از علامت ∌ استفاده می شود.

مثال: مجموعه A برابر {۱, ۲, ۳} است. می بینیم که ۱ ∋ a، اما A ∉ ۵٫

تساوی

دو مجموعه برابرند در صورتی که تک تک عضو های آنها با هم برابر باشند. ولی گاهی اوقات در نگاه اول شاید برابر به نظر نرسند، پس باید دقیقا آنها را بررسی کرد.

مثال: A و B برابرند با این مشخصات:

• A مجموعه ای است که عضو های آن شامل ۴ عدد مثبت ابتدای اعداد صحیح است
• {B = {4, 2, 1, 3

بیایید بررسی کنیم. هردوی آنها شامل ۱ هستند. شامل ۲ هم هستند، و ۳… و ۴٫ و تمامی عضوهای طرفین را بررسی کردیم، پس: بله، این مجموعه ها با هم برابرند!

و علامت مساوی ( = ) برای نمایش مساوی بودن استفاده می شود، پس می نویسیم:

A = B

زیرمجموعه ها

هنگامیکه یک عضو را تعریف کرده ایم، اگر تکه ای از آن را برداریم، به آن تکه زیر مجموعه گفته می شود.

پس برای مثال، مجموعه {۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱} را در اختیار داریم. یک زیرمجموعه از این مجموعه برابر {۳ ,۲ ,۱} است. زیرمجموعه دیگر آن {۴ ,۳} یا حتی {۱} می تواند باشد. اما، {۶ ,۱} یک زیرمجموعه نیست چرا که شامل عضو (۶) است که در مجموعه مادر وجود ندارد. در کل:

A یک زیرمجموعه B است اگر و فقط اگر هر عضو A در B موجود باشد.

(“اگر و فقط اگر: یعنی برعکس این قضیه نیز صادق است”)

پس بیایید این تعریف را در چند مثال ببینیم.

مثال: اگر {A = {1, 3, 4 و {B = {1, 4, 3, 2، آیا A زیر مجموعه B است؟

• ۱ در A هست، در B هم هست.

• ۳ در A هست، در B نیز هست.

• ۴ هم در A هست، در B هم هست.

این ها تمامی عضو های A بودند، و هر عضو آن در B وجود دارد. پس حل شد.

A یک زیر مجموعه B است

دقت کنید که ۲ در B است، اما در A نیست. اما به یاد داشته باشید که ایرادی ندارد، ما فقط به عضوهای زیر مجموعه نگاه می کنیم.

یک مثال سخت تر.

مثال: مجموعه A برابر تمامی مضرب های ۴ است و B نیز تمامی مضرب های ۲ است. آیا A یک زیر مجموعه B است؟ و آیا B زیر مجموعه A است؟

خب، در این مورد نمی شود تک تک عضوها را بررسی کنیم، چون بی نهایت عضو دارند. پس ما نیاز داریم که بدانیم عضو های هر مجموعه چه شکلی اند تا ایده ای در مورد آنها داشته باشیم.

مجموعه ها برابرند با:

• {… ,A = {…, -۸, -۴, ۰, ۴, ۸

• {… ,B = {…, -۸, -۶, -۴, -۲, ۰, ۲, ۴, ۶, ۸

با جفت کردن عضو های دو مجموعه، می توانیم ببینیم که هر عضو A در B وجود دارد، اما هر عضو B در A وجود ندارد

پس:

A یک زیر مجموعه B است، اما B زیر مجموعه ای از A نیست

زیرمجموعه های محض

اگر به تعریف زیرمجموعه ها نگاه کرده و کمی فکر کنیم، نتیجه عجیبی به دستمان می آید.

فرضا A یک مجموعه است. آیا تمامی عضوهای A در Aوجود دارد؟ (بله درست نوشتم، غلط املایی نیست…)

خب… بله… البته… نه؟

خب پس به این معنی نیست که A زیر مجموعه A است؟

این قضیه بنظر درست نمی آید، چنین نیست؟ می خواهیم زیر مجموعه های ما مناسب بنظر بیایند. پس زیرمجموعه های محض را معرفی می کنیم.

A یک زیر مجموعه محض B است اگر و فقط اگر هر عضو A در B باشد، و حداقل یک عضو در B باشد که در A نیست.

این جمله به ما مشخص می کند که A زیرمجموعه محض از خودش نیست. در غیر اینصورت یک زیرمجموعه محض کاملا با یک زیرمجموعه عادی برابر خواهد بود.

مثال:

{۳ ,۲ ,۱} یک زیرمجموعه {۳ ,۲ ,۱} است اما یک زیرمجموعه محض از {۳ ,۲ ,۱} نیست.

مثال:

{۳ ,۲ ,۱} زیرمجموعه محض مجموعه {۴ ,۳ ,۲ ,۱} است چرا که عضو ۴ در مجموعه اول وجود ندارد.

دقت کنید که اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد، پس A همچنین یک زیر مجموعه B است.

علامت های بیشتر

هنگامیکه می گوییم A زیرمجموعه B است، می نویسیم:

A ⊆ B

یا می توانیم بگوییم که A زیر مجموعه ای از B نیست:

A ⊈ B

هنگام بحث در مورد زیر مجموعه های محض، خط زیر این علامت را بر می داریم و به شکل زیر در می آید:

A ⊂ B (زیر مجموعه محض است)

A ⊄ B (زیر مجموعه محض نیست)

مجموعه تهی (پوچ)

این موضوع احتمالا عجیب ترین مسئله در مورد مجموعه ها است

بعنوان مثال، به مجموعه کلید های روی یک گیتار فکر کنید…

خواهید گفت “وایسا!“… “رو گیتار که کلید پیانو نداریم!”

و درست می گویید. این مجموعه، مجموعه ای است با هیچ عضوی.

به این نوع مجموعه، مجموعه تهی (پوچ) گفته می شود. هیچ عضوی در این مجموعه ها نیست. حتی یک عضو هم نیست. صفر…

این مجموعه ها با علامت ∅ یا { } (مجموعه ای بدون عضو) نشان داده می شود.

برخی مثال های دیگر مجموعه تهی مجموعه کشورهای واقع در جنوب قطب جنوب است (!).

خب چه چیزی در مورد مجموعه های تهی عجیب است؟ خب، موضوع بعدی به این بحث می پردازد.

مجموعه تهی و زیرمجموعه های تهی

بیایید به تعریف زیرمجموعه ها بازگردیم و آن را دوباره بررسی کنیم. ما یک مجموعه به نام A داریم. بیش از این راجع به این مجموعه توضیحی نمی دهیم. آیا مجموعه تهی زیر مجموعه ای از مجموعه A است؟

بر اساس تعریف، اگر تمامی عضو های مجموعه تهی در مجموعه A هم باشند، پس مجموعه تهی زیر مجموعه ای ازA است. اما اگر هیچ عضوی در دست نداشته باشیم چطور؟

بحث کوتاهی از منطق را اینجا می خواهد که موضوع را متوجه شویم. این ادعا همانی است که به طور “بی معنی” و “بدیهی” صحیح است.

یک راه خوب برای فکر کردن در این مورد: هیچ عضوی در مجموعه تهی وجود ندارد که در A نباشد، پس می فهمیم که تمامی عضو ها در مجموعه تهی در A است.

پس پاسخ سوال پرسیده شده “بله” است.تدریس خصوصی ریاضی دبستان .متوسطه ودانشگاه دراصفهان .گوهر ؛ تخصصی ترین تدریس خصوصی دراصفهان آدرس دفتر خ حافظ روبروی هتل ستاره۳۲۲۲۶۰۶۵-۰۹۱۰۳۵۷۵۷۴۴